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题文
求下列双曲线的标准方程:
(1)过点(3,-1),渐近线方程是y=±3x;
(2)与椭圆
x2
16
+
y2
64
=1
有相同的焦点,且离心率为
2
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
根据题意,双曲线的渐近线方程是y=±3x,
设双曲线方程为 9x2-y2=λ(λ≠0),
∵双曲线过点(3,-1),
∴9×9-1=λ,即λ=80.
∴所求双曲线方程为
x2
80
9
-
y2
80
=1

(2)∵椭圆
x2
16
+
y2
64
=1
的焦点坐标为(0,4
3
)和(0,-4
3
),
根据双曲线的离心率为
2
.则可设双曲线方程为 y2-x2=a2(a>0),
∵c=4
3
,即
2
a
=4
3

∴a=2
6

故所求双曲线方程为
y2
24
-
x2
24
=1
据魔方格专家权威分析,试题“求下列双曲线的标准方程:(1)过点(3,-1),渐近线方程是y=±3x;(2..”主要考查你对  双曲线的标准方程及图象  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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双曲线的标准方程及图象
考点名称:双曲线的标准方程及图象
  • 双曲线的标准方程:

    (1)中心在原点,焦点在x轴上:
    (2)中心在原点,焦点在y轴上:
    双曲线的图像:

    (1)焦点在x轴上的双曲线的图像

    (2)焦点在y轴上的双曲线的图像

  • 判断双曲线的焦点在哪个轴上:

    判断双曲线的焦点在哪个轴上的方法看未知数前的系数,哪一个为正,焦点就在哪一个轴上.

    定义法求双曲线的标准方程:

    求动点的轨迹方程时,可利用定义先判断动点的轨迹,再写出方程.平面几何中的定理性质在解决解析几何问题时起着简化运算的作用,一定要注意应用,根据双曲线的定义,到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数的点的轨迹是双曲线,可以求双曲线的标准方程,

    待定系数法求双曲线的标准方程:

    在求双曲线标准方程时,可先设出其标准方程,再根据双曲线的参数a,b,c,e的取值及相互之间的关系,求出a,b的值,已知双曲线的渐近线方程,求双曲线方程时,可利用共渐近线双曲线系方程,再由其他条件求λ.若焦点不确定时,要注意分类讨论.

    利用双曲线的性质求解有关问题:

    要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题,应找好题中的等量关系或不等关系,构造出离心率的关系式,这里应和椭圆中a,b,c的关系区分好,即

  • 几种特殊的双曲线:

    等轴双曲线 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率两条渐近线互相垂直
    共轭双曲线
    共渐近线的双曲线

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