当前位置:魔方格数学双曲线的标..>已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=55,离心率e=5.(Ⅰ)..
题文
已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=
5
5
,离心率e=
5

(Ⅰ)求该双曲线的方程;
(Ⅱ)如图,点A的坐标为(-
5
,0)
,B是圆x2+(y-
5
)2=1
上的点,点M在双曲线右支上,|MA|+|MB|的最小值,并求此时M点的坐标.
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(Ⅰ)由题意可知,双曲线的焦点在x轴上,
故可设双曲线的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)

c=
a2+b2

由准线方程为x=
5
5
a2
c
=
5
5
,由e=
5

c
a
=
5
解得a=1,c=
5

从而b=2,∴该双曲线的方程为x2-
y2
4
=1


(Ⅱ)设点D的坐标为(
5
,0)

则点A、D为双曲线的焦点,|MA|-|MD|=2a=2
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|,
∵B是圆x2+(y-
5
)2=1
上的点,
其圆心为C(0,
5
)
,半径为1,
|BD|≥|CD|-1=
10
-1

从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥
10
+1

当M,B在线段CD上时取等号,
此时|MA|+|MB|的最小值为
10
+1

∵直线CD的方程为y=-x+
5

因点M在双曲线右支上,故x>0
由方程组
4x2-y2=4
y=-x+
5

解得x=
-
5
+4
2
3
,y=
4
5
-4
2
3

所以M点的坐标为(
-
5
+4
2
3
4
5
-4
2
3
)
据魔方格专家权威分析,试题“已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=55,离心率e=5.(Ⅰ)..”主要考查你对  双曲线的标准方程及图象  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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双曲线的标准方程及图象
考点名称:双曲线的标准方程及图象
  • 双曲线的标准方程:

    (1)中心在原点,焦点在x轴上:
    (2)中心在原点,焦点在y轴上:
    双曲线的图像:

    (1)焦点在x轴上的双曲线的图像

    (2)焦点在y轴上的双曲线的图像

  • 判断双曲线的焦点在哪个轴上:

    判断双曲线的焦点在哪个轴上的方法看未知数前的系数,哪一个为正,焦点就在哪一个轴上.

    定义法求双曲线的标准方程:

    求动点的轨迹方程时,可利用定义先判断动点的轨迹,再写出方程.平面几何中的定理性质在解决解析几何问题时起着简化运算的作用,一定要注意应用,根据双曲线的定义,到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数的点的轨迹是双曲线,可以求双曲线的标准方程,

    待定系数法求双曲线的标准方程:

    在求双曲线标准方程时,可先设出其标准方程,再根据双曲线的参数a,b,c,e的取值及相互之间的关系,求出a,b的值,已知双曲线的渐近线方程,求双曲线方程时,可利用共渐近线双曲线系方程,再由其他条件求λ.若焦点不确定时,要注意分类讨论.

    利用双曲线的性质求解有关问题:

    要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题,应找好题中的等量关系或不等关系,构造出离心率的关系式,这里应和椭圆中a,b,c的关系区分好,即

  • 几种特殊的双曲线:

    等轴双曲线 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率两条渐近线互相垂直
    共轭双曲线
    共渐近线的双曲线

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