当前位置:魔方格数学双曲线的标..>如图,F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点.P为双曲线C右支..
题文
如图,F为双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点.P为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,M为左准线上一点,O为坐标原点.已知四边形OFPM为平行四边形,|PF|=λ|OF|.
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率e与λ的关系式;
(Ⅱ)当λ=1时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若|AB|=12,求此时的双曲线方程.
题型:解答题难度:中档来源:不详
答案
(Ⅰ)∵四边形OFPM是平行四边形,
∴|OF|=|PM|=c,作双曲线的右准线交PM于H,则|PM|=|PH|+2×
a2
c

又e=
|PF|
|PH|
=
λ|OF|
c-2
a2
c
=
λc
c-2
a2
c
=
λc2
c2-2a2
=
λe2
e2-2
,e2-λe-2=0.

(Ⅱ)当λ=1时,e=2,|PF|=|OF|.
∴c=2a,b2=3a2,双曲线为
x2
a2
-
y2
3a2
=1且平行四边形OFPM是菱形,
由图象,作PD⊥X轴于D,则直线OP的斜率为
PD
OD
=
C2-
a4
C2
c-
a2
c
=
15
3
,则直线AB的方程为y=
15
3
(x-2a),代入到双曲线方程得:
4x2+20ax-29a2=0,又|AB|=12,
由|AB|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

得:12=
8
3
(5a)2+4×
29a2
4

解得a=1,
则b2=3,
所以x2-
y2
3
=1为所求.
据魔方格专家权威分析,试题“如图,F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点.P为双曲线C右支..”主要考查你对  双曲线的标准方程及图象  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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双曲线的标准方程及图象
考点名称:双曲线的标准方程及图象
  • 双曲线的标准方程:

    (1)中心在原点,焦点在x轴上:
    (2)中心在原点,焦点在y轴上:
    双曲线的图像:

    (1)焦点在x轴上的双曲线的图像

    (2)焦点在y轴上的双曲线的图像

  • 判断双曲线的焦点在哪个轴上:

    判断双曲线的焦点在哪个轴上的方法看未知数前的系数,哪一个为正,焦点就在哪一个轴上.

    定义法求双曲线的标准方程:

    求动点的轨迹方程时,可利用定义先判断动点的轨迹,再写出方程.平面几何中的定理性质在解决解析几何问题时起着简化运算的作用,一定要注意应用,根据双曲线的定义,到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数的点的轨迹是双曲线,可以求双曲线的标准方程,

    待定系数法求双曲线的标准方程:

    在求双曲线标准方程时,可先设出其标准方程,再根据双曲线的参数a,b,c,e的取值及相互之间的关系,求出a,b的值,已知双曲线的渐近线方程,求双曲线方程时,可利用共渐近线双曲线系方程,再由其他条件求λ.若焦点不确定时,要注意分类讨论.

    利用双曲线的性质求解有关问题:

    要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题,应找好题中的等量关系或不等关系,构造出离心率的关系式,这里应和椭圆中a,b,c的关系区分好,即

  • 几种特殊的双曲线:

    等轴双曲线 实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率两条渐近线互相垂直
    共轭双曲线
    共渐近线的双曲线

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